Conversión de modelos del dominio del tiempo a frecuencia y viceversa

Orden del día

• Solución de preguntas.
• Conversión de función de transferencia a modelo en espació de estados
• Conversión de modelo en espacio de estados a función de transferencia

Conceptos

• Variables de estado
• Variables de fase
• Función de transferencia
• Espacio de estados (state-space)

Conversión TF a SS

1. Encontrar la ecuación diferencial.
2. Selecionamos la variables de estado, pueden ser variables de fase.

3. Se rescribe la ecuación diferencial como ecuación en espacio de estados.

   Ejemplo:

   \[\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{24}{s^3+9\,s^2+26\,s+24}\]

4. En caso de numerador polinomial se separa la función de transferencia entre denominador y luego numerador. El denominador aparece en la ecuación de estado y el numerador aparece en la ecuación de salida.

   Ejemplo:

   \[\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{s^2+7\,s+2}{s^3+9\,s^2+26\,s+24}= \frac{1}{s^3+9\,s^2+26\,s+24}\cdot\left(s^2+7\,s+2\right)\]

Ejercicio

Encontrar la representación en espacio de estados de la siguiente función de transferencia:

Conversión de SS a TF

1. Tomemos la representación en espacio de estados general y encontremos la función de transferencia.

   \[\begin{align} \dot{x}&=A\,x+B\,u \\ y&=C\,x+D\,u \end{align}\]

2. Aplicando transformada de Laplace:

   \[\begin{align} s\,X(s)&=A\,X(s)+B\,U(s) \\ Y(s)&=C\,X(s)+D\,U(s) \end{align}\]

3. Despejando de la primera ecuación $X(s)$

   \[\begin{align} (sI-A)X(s)&=B\,U(s) \\ X(s)&=(sI-A)^{-1}B\,U(s) \end{align}\]

4. Remplazando $X(s)$ en $Y(s)$,

   \[Y(s) = \left[C(sI-A)^{-1}B + D \right]\,U(s)\]

5. La función de transferencia relaciona la salida $Y(s)$ sobre la entrada $U(s)$ luego:

   \[\frac{Y(s)}{U(s)} = C(sI-A)^{-1}B + D\]

   Ejemplo 1

   \[\begin{align} \dot{x}&= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -24 & -26 & -9 \end{bmatrix} \,x+ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \,u \\ y&= \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 \end{bmatrix} \,x \end{align}\]

   Ejemplo 2

   \[\begin{align} \dot{x}&= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \,x+ \begin{bmatrix} 10\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \,u \\ y&= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \,x \end{align}\]

Ejercicio

Encontremos la función de transferencia del siguiente sistema en representación en espacio de estados: